Anugrah Jang “Guru”

Penalaran dalam matematika sulit dipisahkan dari kaidah-kaidah logika. Penalaran-penalaran yang demikian dalam matematika dikenal dengan istilah penalaran deduktif. Menurut kaidah bahasa Indonesia, penalaran deduktif berarti penalaran yang bersifat deduksi, yaitu penalaran atas dasar hal-hal yang bersifat umum kemudian diturunkan ke hal-hal yang khusus. Sedangkan penalaran induktif, secara bahasa berarti penalaran yang bersifat induksi, yaitu penalaran atas dasar dari hal-hal yang bersifat khusus, kemudian disimpulkan menjadi yang bersifat umum. Tercatat beberapa penjelasan tentang deduksi dalam matematika, di antaranya:

Proses penalaran dari prinsip umum diturunkan ke kesimpulan fakta khusus

Proses penalaran yang konklusinya diturunkan secara mutlak dari premis-premisnya

Suatu argument adalah valid deduktif jika dan hanya jika bahwa tidak mungkin konklusi salah padahal premisnya benar.

 

Pembuktian yang menggunakan penalaran deduktif biasanya menggunakan kalimat implikatif yang berupa pernyataan jika …, maka …. Kemudian, dikembangkan dengan menggunakan pola pikir yang disebut silogisme, yaitu sebuah argumen yang terdiri atas tiga bagian. Di dalamnya terdapat dua pernyataan yang benar (premis) yang menjadi dasar dari argument itu, dan sebuah kesimpulan (konklusi) dari argument tersebut. Di dalam logika, sebagai cabang (inti) matematika yang banyak membahas tentang silogisme terdapat beberapa aturan yang menyatakan apakah silogisme itu valid (sahih) atau tidak.

(1) Premis Mayor – Premis pertama haruslah memiliki satu hal yang berhubungan dengan premis yang kedua

(2) Premis Minor – Premis kedua haruslah memiliki satu hal yang berhubungan dengan premis pertama

(3) Konklusi – Kesimpulannya haruslah memiliki satu hal yang berhubungan dengan kedua premis tersebut.

 

Contoh 2.1

Premis Mayor : Semua serangga termasuk vertebrata

Premis Minor : Semua semut termasuk serangga

Konklusi : Jadi, semua semut termasuk vertebrata

 

Contoh 2.2

Premis Mayor : Jumlah ketiga sudut segitiga besarnya 180⁰

Premis Minor : Dua pasang sudut segitiga ukurannya sama besar

Konklusi : Jadi, pasangan sudut ketiga dari dua segitiga itu sama.

 

Sebagaimana disebutkan pada bagian terdahulu bahwa cara penalaran dengan deduktif di antaranya dapat dilakukan secara aturan inferensi, bukti langsung, bukti tidak langsung, dan induksi matematika. Berikut beberapa contoh sederhana tentang beberapa aturan dalam penalaran deduktif.

 

A. Aturan Inferensi Deduksi

Inferensi argumen yang tepat tanpa berdasar kemungkinan disebut inferensi deduksi.

 

Contoh 2.3

Semua manusia akan meninggal dunia

Ratna adalah seorang manusia

Jadi, Ratna akan meninggal dunia

Dalam argumen contoh 2.3 di atas, premis-premisnya benar, maka jelaslah konklusinya juga benar. Sebab, tidak ada kemungkinan lain selain Ratna akan meninggal.

Contoh 2.4

Semua bilangan imajiner adalah bilangan kompleks

adalah bilangan imajiner

Jadi, adalah bilangan kompleks

 

B. Bukti Langsung

Termasuk dalam bukti langsung ini di antaranya aturan penarikan kesimpulan modus ponens, inferensi deduksi, dan implikasi transitif.

 

1. Pembuktian dengan Aturan Modus Ponen (modus ponendo ponens)

Aturan dasarnya: “bila p menyebabkan q, ternyata p benar, maka q benar”

Premis (1) : p® q

Premis (2) : p

Konklusi : q

atau ditulis (p® q) Ùq ® q

 

Contoh 2.5

Buktikan bahwa siskriminan persamaan kuadrat lebih besar dari nol mempunyai akar real berbeda.

Bukti

Diskriminan dari x² – 5x + 1 = 0 adalah 21.

x² – 5x + 1 = 0 mempunyai dua akar real berbeda.

 

Contoh 2.6

Buktikan bahwa semua bilangan ganjil tidak habis dibagi dua

Bukti (bukti langsung)

Suatu bilangan ganjil a tidak habis dibagi 2.

a tidak habis dibagi 2, artinya a bersisa 1, yaitu a = 2n + 1; untuk n Îbilangan bulat.

Padahal 2n + 1 adalah pernyataan dari suatu bilangan ganjil.

Jadi, bilangan ganjil tidak habis dibagi dua

 

Contoh 2.7

Telah diketahui, jika suatu segitiga adalah samakaki, maka kedua sudut alasnya kongruen.

Pada persegi ABCD dilukis D ABE samakaki yang dua titik sudutnya berhimpit dengan dua titik sudut persegi serta titik sudut E terletak di sisi persegi yang tidak melalui dua titik sudut persegi tadi.

Bukti

 

 

(keterangan gambar ini bukan bukti, tetapi hanya untuk merepresentasikan premis)

 

 

Karena D ABE sama kaki, yaitu , maka ÐEAB ÐEBA

 

2. Pembuktian dengan Implikasi Transitif

Aturan dasarnya:

Premis (1) : p® q

Premis (2) : q ® r

Konklusi : p ® r

atau ditulis (p® q) Ù (q ® r) ® (p ® r)

 

Contoh 2.8

Buktikan bahwa dalam himpunan bilangan cacah, kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

Bukti

Dalam bentuk simbol logika dapat ditulis sebagai berikut.

m Î bilangan cacah, (m) (m bilangan ganjil ® m² bilangan ganjil)

Premis (1) : m bil. ganjil ® ada n bil. cacah sehingga m = 2n+1

Premis (2) : m = 2n + 1 ® m² = (2n + 1)²

= 4n² + 4n + 1

= 2(2n² + 2n) + 1

= 2p + 1 adalah bilangan ganjil

Kesimpulan : Jadi, m bilangan ganjil ® m² bilangan ganjil

 

Contoh 2.9

Buktikan bahwa jika diagonal-diagonal suatu parallelogram itu sama, maka parallelogram itu merupakan suatu persegipanjang.

Bukti

STUV adalah parallelogram , , ÐVST + ÐUTS = 180⁰ , dan

Harus dibuktikan ÐVST = 90⁰

 

Diketahui parallelogram STUV

® D VST D UTS

D VST D UTS ® Ð VST Ð UTS

Ð VST Ð UTS ® Ð VST = = 90⁰

Karena itu, jika , maka Ð VST = 90⁰

 

C. Kontrapositif

Terkadang kita sulit membuktikan p® q secara langsung. Bila demikian keadaanya, kita dapat membuktikan kontrapositifnya, yaitu membuktikan kebenaran ~q® ~p. Sebab, dalam ilmu logika diketahui bahwa pernyataan p® q dan ~q® ~p adalah ekuivalen. Dikatakan, (p® q) ↔ (~q® ~p) merupakan tautologi

Contoh 2.10

Buktikan bahwa semua bilangan ganjil tidak habis dibagi dua

Bukti

Gunakan kontrapositifnya, yaitu untuk membuktikan p® q cukup dibuktikan ~q® ~p.

Misalkan p : bilangan ganjil dan q : tidak habis dibagi dua, maka ~p : bilangan genap dan ~q : habis dibagi dua.

Akan dibuktikan jika a habis dibagi dua, maka a bilangan genap

Jika a adalah bilangan yang habis dibagi dua, maka ditulis a = 2n; untuk n Îbilangan bulat. Padahal a = 2n tidak lain sebagai pernyataan dari bilangan genap. Jadi, terbukti jika a habis dibagi dua, maka a bilangan genap.

Dengan kata lain, semua bilangan ganjil tidak habis dibagi dua

 

Contoh 2.11

Buktikan bahwa jika hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil, maka x dan y kedua-duanya ganjil

Bukti

Bila pernyataan jika hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil, maka x dan y kedua-duanya ganjil ditulis sebagai p® q, maka p dan q masing-masing menjadi

p : hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil

q : x dan y kedua-duanya ganjil

Akan dibuktikan kontrapositifnya, yaitu ~q® ~p, sehingga

~q : x dan y kedua-duanya tidak ganjil

Karena x dan y tidak ganjil, artinya genap, maka x = 2n dan y = 2m, untuk m, n Î bilangan asli.

Sehingga xy = (2n)(2m) = 2 (2mn). Jadi, xy adalah bilangan genap. Artinya, hasil kali dua bilangan aslil x dan y ternyata tidak ganjil, apabila x dan y masing-masing bukan bilangan ganjil. Dengan kata lain,

~p : hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil.

Dengan demikian telah dibuktikan ~q® ~p benar.

 

D. Bukti Tidak Langsung

Pembuktian argumen dengan cara ini dilakukan dengan jalan membentuk negasi dari konklusinya, yang kemudian dijadikan premis tambahan. Jika akibat langkah ini muncul kontradiksi, maka argumen yang dibuktikan adalah valid.

Strateginya dimulai dengan memandang negasi dari proposisinya terbukti. Misalnya, kita ingin membuktikan proposisi p. Kita pandang negasinya, yaitu ~p. Kita buktikan bahwa ~p terjadi kontradiksi, misalnya q dan ~q (tidak mungkin dua sekaligus, sehingga pasti salah). Dari kontrapositif kondisi itu, kita telah membuktikan negasi dari negasi proposisi. Dengan demikian, kita menunjukkan bahwa ~(q Ù ~q) ® ~ (~p), sehingga ~(~p) = p.

Pembuktian tak langsung, dikenal pula dengan pembuktian kontradiksi atau reduction ad absurdum. Pembuktian dengan cara tidak langsung memang rumit, tetapi hal ini dilakukan manakala kita dihadapkan pada masalah pembuktian yang sulit diambil penalarannya secara langsung.

 

Contoh 2.12

Buktikan bila matriks bujursangkar mempunyai invers, maka inversnya itu tunggal.

Bukti (tidak langsung)

P : matriks bujursangkar yang mempunyai invers

q : invers matris bujursangkar itu tunggal

sehingga ~q : invers matriks bujursangkar itu tidak tunggal

Andaikan invers matriks bujursangkar itu tidak tunggal misalnya ada dua, yaitu L₁ dan L₂, dengan L₁ ¹ L₂ .

Misalkan matriks bujursangkar itu M yang mempunyai invers L₁ dan L₂ dengan L₁ ¹ L₂ ,

maka M L₁ = L₁M = I (identitas) , begitu pula M L₂= L₂M = I(identitas)

Padahal, L₁ = L₁I = L₁(M L₂)= (L₁M) L₂ = I L₂ = L₂

Jadi, L_{1 ­}harus sama dengan L₂ yang berarti bertentangan (kontradiksi) dengan pengandaian bahwa L₁ ¹ L₂ .

Contoh 2.13

Buktikan bahwa jumlah bilangan rasional dan irasional adalah irasional.

 

Bukti (tidak langsung)

Misalkan bilangan rasional itu A dan bilangan irasionalnya adalah B, sehingga menurut pernyataan itu berlaku A + B adalah bilangan irasional.

Karena A bilangan rasional, maka A dapat ditulis A = untuk m , n Î bilangan bulat.

Andaikan bahwa A + B rasional, maka A + B = untuk c, d Î bilangan bulat, sehingga A + B = + B = Û B = -

Û B =

Perhatikan bahwa B merupakan bilangan rasional untuk c, d, m, dan n Î bilangan bulat. Padahal sebelumnya diketahui bahwa B adalah irasional. Jadi, pengandaian bahwa A + B rasional adalah salah, maka haruslah A + B bilangan irasional.

 

Contoh 2.14

Buktikan adalah bilangan irasional

Bukti (tidak langsung)

Andaikan adalah bilangan rasional, maka = (a,b Î bilangan bulat, b ¹ 0, a dan b tidak mempunyai faktor persekutuan)

Jika = , maka 3 = Û a² = 3b² ……………………… (1)

Artinya, 3b² adalah bilangan kelipatan 3. Jadi, a² adalah bilangan kelipatan 3. Bila a² kelipatan 3, maka a juga bilangan kelipatan 3.

(Sebab, dengan menggunakan kontrapositifnya : a ¹ kelipatan 3, maka a² ¹ kelipatan 3. Artinya, a ¹ kelipatan 3, yaitu

a = 3k + 1, maka a² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + 2k) + 1 ¹ kelipatan 3

a = 3k + 2, maka a² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k) + 4 ¹ kelipatan 3

sehingga a² ¹ kelipatan 3)

Karena a bilangan kelipatan 3,

artinya a = 3c, untuk c Î bilangan bulat ……………..………(2)

a = 3c Û a² = 3c², padahal a² = 3b² sehingga (3c)² = 3b² Û b² = 3c²

Berarti b² bilangan kelipatan 3 (dengan cara serupa seperti di atas, diperoleh bahwa b juga bilangan kelipatan 3).

Karena a dan b kelipatan 3, maka mempunyai faktor sekutu 3. Hal ini bertentangan (kontradiksi) dengan definisi bilangan rasional (pengandaian di atas). Jadim haruslah bilangan irasional.

E. Induksi Matematika

Pembuktian cara induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli..

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k +1 (atau S(k+1) benar).

 

Contoh 2.15

Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =

 

 

Bukti

Harus dibuktikan S(n) = 1 + 2 + 3 + … + n = .

(1) untuk n = 1, benar bahwa S(1) =

(2) Andaikan benar untuk n = k, yaitu

S(k) = 1 + 2 + 3 + … + k = , maka akan dibuktikan benar pula untuk n = k+1, yaitu S(k+1) = 1+ 2 + 3 + … + k + (k+1) = .

Sehingga 1 + 2 + 3 + … + k + (k +1) = + (k +1)

= (k+1)

= (terbukti benar)

Jadi, S(n) benar untuk semua bilangan asli.

 

Contoh 2.16

Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n²

Bukti

Harus dibuktikan S(n) = 1 + 3 + 5 + … + 2n-1 = n²

(1) untuk n = 1, benar bahwa S(1) = n² = (12) = 1

(2) Andaikan benar untuk n = k, yaitu

S(k) = 1 + 3 + 5 + … + 2k-1 = k², maka akan dibuktikan benar pula untuk n = k+1, yaitu

S(k+1) = 1+ 3 + 5 + …+ 2k-1 + 2(k+1) – 1 = (k + 1)².

Sehingga 1+ 3 + 5 + …+ 2k-1 + [2(k+1) – 1] = k² + 2(k+1) – 1

= k² + 2k+ 1

= (k + 1)² (terbukti benar)

Jadi, S(n) benar untuk semua bilangan asli.